確定股票價格

要同意任何可交易資產的準確定價是否具有挑戰性-這就是股票價格不斷變化的原因。實際上，公司幾乎沒有在一天的基礎上改變估值，但他們的股票價格和估值幾乎每秒都會改變。對於任何可交易資產的正確定價達成共識，這難以達成共識，這導致了短暫的套利機會。

但很多成功的投資歸結為一個簡單的當天估值問題-今天的最新價格是預期的未來收益？

二聚體選項估值

在競爭激烈的市場中，為了避免套利機會，具有相同收益結構的資產必須具有相同的價格。選擇估值是一個具有挑戰性的任務，定價變化導致套利機會。Black-Scholes仍然是用於定價選項的最受歡迎的型號之一，但有局限性.1

二項式選項定價模型是用於定價選項的另一個流行方法

示例

假設特定庫存的呼叫選項，目前的市場價格為100美元。房價（ATM）選項的罷工價格為100美元，時間達到一年。有兩位交易員，彼得和寶拉，他們都同意股票價格將上升至110美元或跌至一年內的90美元。

他們同意一年的給定時間範圍內的預期價格水平，但不同意上下行動的可能性。彼得認為，股票價格的概率達到110美元是60％，而Paula認為它是40％。

基於此，谁愿意為通話選項支付更多價格？可能是彼得，因為他預計上升的可能性很高。

二進制選項計算

估值依賴的兩項資產是通話選項和底層股票。與會者之間存在一致意見，潛在的股票價格可以從目前的100美元轉移到110美元或90美元，在一年內，沒有其他價格。

在一個自由的世界中，如果你必須創造一個投資組合，包括這兩種資產，呼叫選項和底層庫存，這無論潛在價格還是110美元或90美元-投資組合的淨回報總是相同。假設您購買“D”股份的潛在和短暫的一個呼叫選項以創建此產品組合。

如果價格達到110美元，您的股票將值為110美元*D，並且您將在短期通話後損失10美元。您的投資組合的淨值將是（110d-10）。

如果價格降至90美元，您的股票將值為90*D，並且該選項將無價值過期。您的投資組合的淨值將是（90d）。

如果您希望您的投資組合的價值保持相同，無論底層股價如何，那麼您的投資組合值應在任何一種情況下保持不變：

h（d）-m=l（d）其中：h=最高潛在的潛在底層價格=底層sharesm=短呼叫支付的金錢丟失=最低潛在的底層價格\begin{對齊}＆h（d）-m=l（d）\\＆\textbf{其中：}\\＆h=\text{最高潛在的底層價格}\\＆d=\text{底層股份數}\\＆m=\text{短期呼叫支付的金錢丟失}\＆l=\text{最低潛在的底層價格}\\\end{對齊}h（d）-m=l（d）其中：h=最高潛在的潛在潛在的價格=底層sharesm=短暫呼叫支付的金錢丟失=最低潛在的基礎價格

因此，如果您購買半個份額，假設可能是分數購買，您將設法創建一個投資組合，以便其在給定時間框架內的兩種可能狀態下的值保持不變。

110d-10=90dd=12\begin{對齊}＆110d-10=90d\\＆d=\frac{1}{2}\\\end{對齊}110d-10=90dd=21

這個產品組合值（90d）或（110d-10）=45表示，是一年的線。為了計算其目前的價值，可以通過無風險回報率（假設5％）折扣。

當前值=90d×e（-5％×1年）=45×0.9523=42.85\begin{對齊}\文本{present值}＆=90d\timese^{（-5\％\times1\text{年}}}}\\＆=45\times0.9523\\＆=42.85\\\end{對齊}當前值=90d×e（-5％×1年）=45×0.9523=42.85

自目前，投資組合由佔股票½份額（以100美元的市場價格為單位）和一項短期通話，應等於本值。

12×100-1×呼叫價格=$42.85callprice=$7.14，即今天的呼叫價格\begin{對齊}＆\frac{1}{2}\times100-1\times\text{呼叫價格}=\$42.85\\＆\text{呼叫價格}=\$7.14\text{，即今天的呼叫價格}\\\結束{對齊}21×100-1×呼叫價格=$42.85callprice=$7.14，即電話價格

由於這是基於假設，因為無論其底層價格如何，產品組合值都保持不變，因此上升移動或向下移動的概率不會扮演任何角色。無論潛在的價格搬家，投資組合都仍然無風險。

在這兩種情況下（假設上升到110美元和下降到90美元），您的投資組合是對風險中立的，並獲得無風險的回報率。

因此，交易商，彼得和寶拉均願意為此通話選項支付相同的價格為7.14美元，儘管對上漲舉動的可能性不同（60％和40％）。他們的個人感知概率無關緊要。

假設個人概率，套利機會可能會呈現自己。在現實世界中，這些套利機會存在於次要價格差異，並在短期內消失。

但在所有這些計算中，在所有這些計算中的波動率是多少，這是影響選項定價的重要和敏感​​因素？

波動性已經包括在問題的定義的性質中。假設兩個（且只有兩個名稱“二項式”）價格水平的國家（110美元和90美元），波動率在這個假設中隱含，並自動包括（在這個例子中為10％）。

black-scholes

但這種方法是否正確，常用的黑人學術定價是正確的？選項計算器結果（OIC的禮貌）與計算值密切匹配：

不幸的是，現實世界並不像“只有兩個國家”那麼簡單。股票可以在達到期限之前達到幾個價格水平。

是否有可能在僅限於兩個級別的二項式定價模型中包含所有這些多個級別？是的，這是非常可能的，但要理解它需要一些簡單的數學。

簡單數學

概括這個問題和解決方案：

“x”是當前的m船用股票和“x*u”和“x*d”的rket價格是未來的上漲，以後移動“t”幾年。因子“U”將大於一個，因為它表示上升移動，“D”將位於零和一個。對於上述示例，U=1.1和D=0.9。

在到期時，呼叫選項收益是“PUP”和“PDN”，上下移動。

如果您建立了今天購買的“S”股份組合，並且短暫的一個通話選項，那麼時間“T”：

vum=s×x×u-pepwher：vum=在上升移動的情況下，投資組合的值\開始{對齊}＆\text{vum}=s\timesx\timesx\timesu-p_\text{up}\\＆\textbf{其中：}\\＆\text{vum}=\text{portfolio的值，在一個上移動}\\\neg{對齊}vum=s×x×u-pup，其中：vum=在移動時，投資組合的價值

VDM=S×X×D-PDOWN位置：VDM=POSTFOLIO的值，因為下降移動\開始{對齊}＆\text{vdm}=s\timesx\timesd-p_\text{down}\\＆\textBF{其中：}\\＆\text{vdm}=\text{portfolio的值，在下降移動的情況下}\\\end{對齊}vdm=s×x×d-pdown其中：vdm=在下降的情況下，投資組合的價值

對於在任何一個價格舉措中的類似估值：

s×x×U-pup=s×x×d-pdows\timesx\timeu-p_\text{up}=s\timesx\timesd-p_\text{down}s×x×u-pup=s×x×d-pdown

s=pup-pdownx×（u-d）=購買的股票數=無風險的投資組合\begin{senugented}s＆=\frac{p_\text{up}-p_\text{down}}{x\times（u-d）}\\＆=\text{購買}\\＆\phantom{=}\text的股票的數量{a無風險的portfolio}\\\end{對齊}s=x×（u-d）pup-pdown=購買的股票數量=無風險的投資組合

“T”歲月結束時，投資組合的未來價值將是：

在upmove=s×x×u-pup=pup-pdownu-d×U-pup\begin{對齊}\text{在upmove}＆=s\timesx\timeu-p_\text{UP}\\＆=\frac{p_\text{up}-p_\text{down}}{u-d}{u-d}\timesu-p_\tems{up}\\\neg{up}如果發生了move=s×x×u-pup=u-dpup-pdown×u-pup

在下降移動=s×x×d-pdown=pup-pdownu-d×d-pdown\begin{對齊}\text{在向下移動}＆=s\timesx\timed-p_\text{Down}\\＆=\frac{p_\text{up}-p_\text{down}}{u-d}{u-d}\timesd-p_\text{down}\\\nod{seconald}如果是下降move=s×x×d-pdown=u-dpup-pdown×d-pdown

通過折扣無風險回報率來獲得本日值：

pv=e（-rt）×[pup-pdownu-d×U-pup]其中：pv=當今的估值率=rettyt=time，多年\begin{對齊}＆\text{pv}=e（-rt）\times\left[\frac{p_\text{up}-p_\text{down}}{u-d}\timesu-p_\text{up}\light]\\＆\textbf{在哪裡：}\\＆\text{pv}=\text{當日value}\\＆r=\text{return}\\＆t=\text{time，多年}\\\end{aligined}pv=e（-rt）×[u-dpup-pdown×u-pup]其中：pv=當今估值=返回率=時間，多年來

這應該匹配x價格的“S”股份的投資組合保持，並且短呼叫值“C”（現在的當天保持（S*X-C）等同於此計算。）解決“C”最終給出作為：

注意：如果短暫呼叫保費，則應添加到投資組合的補充，而不是減法。

c=e（-rt）U-D×[（e（-rt）-d）×pup+（u-e（-rt））×pdow]c=\frac{e（-rt）}{u-d}\次[（e（-rt）-d）\timesp_\text{up}+（u-e（-rt））\timesp_\text{down}]c=u-de（-rt）×[（e（-rt）-d）×pup+（u-e（-rt））×pdown]

寫出等式的另一種方式是重新排列：

以“q”為：

q=e（-rt）-du-dq=\frac{e（-rt）-d}{u-d}q=u-de（-rt）-d

然後方程變成：

c=e（-rt）×（q×pup+（1-q）×pdows）c=e（-rt）\times（q\timesp_\text{up}+（1-q）\timesp_\text{down}）c=e（-rt）×（q×pup+（1-q）×pdows）

在“Q”方面重新排列了“Q”的方程提供了新的視角。

現在，您可以將“q”解釋為底層的上升移動的概率（作為“q”與pup相關聯，並且“1-q”與pdn相關聯。總體而言，等式代表現今的期權價格，到期時其收益的折扣價值。

此“q”是不同的

這個概率如何與上升或下面的移動的概率不同？

vsp=q×x×u+（1-q）×x×dWhere：vsp=股票價格在時間t\begin{aligned}＆\text{vsp}=q\timesx\timesx\timesu+（1-q）\timesx\timesd\\＆\textbf{where：}\\＆\text{vsp}=\text{time股價的股票價格}t\\\end{對齊}vsp=q×x×U+（1-q）×x×dwhere：vsp=時間t的股票價格

用“q”的價值代替，重新排列，時代的股價“t”來到：

股票價格=e（rt）×x\begin{對齊}＆\text{sockprice}=e（rt）\timesx\\\end{aligned}股價=e（rt）×x

在這支假設的兩國世界中，股票價格只是由於無風險的回報率而升高，與無風險的資產一樣，因此它仍然獨立於任何風險。投資者在此模型下難以置信，因此這構成了風險中性模型。

概率“Q”和“（1-Q）”稱為風險中立概率，並且估值方法稱為風險中性估值模型。

示例方案具有一個重要要求-未來的收益結構是精度的精確度（110美元和90美元）。在現實生活中，對基於階段的價格水平的這種清晰度是不可能的;相反，價格隨機移動，並可能在多個層面定居。

為了進一步擴展示例，假設兩步價格水平是可能的。我們知道第二步的最終收益，我們需要重視今天的選項（在初始步驟中）：

向後工作，中間第一步驟估值（在T=1）可以在步驟二（t=2），然後使用這些計算的第一步驟估值（t=1），本日估值（t=0）可以通過這些計算來達到。

要在二號中獲得選項定價，使用四個和五個的收益。要獲得第三次定價，則使用五個和六次的回報。最後，計算了兩個和三個的計算的收益用於在第一次上獲得定價。

請注意，此示例假設兩個步驟（和下）移動的相同係數-U和D以復合的方式應用。

工作示例

假設罷工價格為110美元的罷工價格目前正在以100美元交易並在一年內到期。無風險率為5％。預計價格預計將增加20％，每六個月減少15％。

這裡，u=1.2和d=0.85，x=100，t=0.5

使用上述衍生公式

q=e（-rt）-du-dq=\frac{e（-rt）-d}{u-d}q=u-de（-rt）-d

我們得到q=0.35802832

Put選項的價值在2點，

p2=e（-rt）×（p×pupup+（1-q）pupdn）其中：p=put選項的價格\begin{對齊}＆p_2=e（-rt）\times（p\timesp_\text{Upup}+（1-q）p_\text{updn}）\\＆\textbf{where：}\\＆p=\text{put選項的價格}\\\end{對齊}p2=e（-rt）×（p×pupup+（1-q）pupdn）其中：p=put選項的價格

在Pupup條件下，底層將是=100*1.2*1.2=144美元，導致Pupup=Zero

在Pupdn條件下，底層將是=100*1.2*0.85=102美元，導致Pupdn=8美元

在PDNDN條件下，底層將是=100*0.85*0.85=72.25美元，導致PDNDN=$37.75

P2=0.975309912*（0.35802832*0+（1-0.35802832）*8）=5.008970741

類似地，P3=0.975309912*（0.35802832*8+（1-0.35802832）*37.75）=26.42958924

p1=e（-rt）×（q×p2+（1-q）p3）p_1=e（-rt）\times（q\timesp_2+（1-q）p_3）p1=e（-rt）×（Q×P2+（1-Q）P3）

因此PUT選項的值，P1=0.975309912*（0.35802832*5.008970741+（1-0.35802832）*26.42958924=18.29美元。

同樣，二項式模型允許您打破整個期權持續時間，以進一步精緻多個步驟和級別。使用計算機程序或電子表格，您可以一次向後工作，以獲取所需選項的當前值。

另一個示例

假設歐洲型撥打選項，九個月到期，罷工價格為12美元，目前的底層價格為10美元。假設所有周期的無風險率為5％。假設每三個月一次，底層價格可以向上或向下移動20％，給我們U=1.2，d=0.8，t=0.25和三步二項式樹。

紅色表示基礎價格，而藍色表示PUT選項的收益。

風險中立概率“Q”計算到0.531446。

使用上述“Q”的值和T=九個月的回收值，T=六個月的相應值被計算為：

此外，在T=6處使用這些計算值，T=0處的值在t=0時是：

這為Put選項的當今值提供為2.18美元，非常接近您使用Black-Scholes模型進行計算（$2.30）。

底線

雖然使用計算機程序可以使這些密集的計算容易，但預測未來價格仍然是期權定價的二項式模型的一個主要限制。更精細的時間間隔，通過高電平精度預測每個時段結束時的收益越困難。

然而，在不同時期預期的更改的靈活性是一個加號，這使其適合定價美國選項，包括早期鍛煉估值。

使用二項式模型計算的值與Black-Scholles等其他常用模型計算的值緊密匹配，這表明了型號定價的二項式模型的實用性和準確性。可以根據交易者的偏好開發二項式定價模型，並可以作為Black-Scholes的替代品。